Eingenmode Solver en CST Studio

Eingenmode Solver in CST Studio

El uso de herramientas de computación numérica para resolver problemas específicos, como las ecuaciones de Maxwell en entornos electromagnéticos, se debe a la imposibilidad de encontrar soluciones analíticas para estos casos, es decir, una solución matemática exacta que describa el comportamiento completo del sistema.

Las ecuaciones de maxwell son aquellas que describen el comportamiento electromagnético de un sistema, descrito por un sistema de ecuaciones no lineales con un gran número de incógnitas dependientes entre sí y de las condiciones de contorno de estas. Por esta razón, la solución analítica de este problema no es posible y es necesario buscar una solución numérica 

Para abordar estos problemas, se recurre a soluciones numéricas que son aproximaciones con cierto grado de precisión, lo que permite entender sistemas complejos para los cuales una solución exacta es casi imposible. En estos casos, la discretización del espacio en un mallado con celdas más pequeño es esencial para buscar estas soluciones numéricas en regiones de campo controlables. En estos casos, el mallado se utiliza para simplificar las condiciones de contorno del sistema en cada celda y poder aproximar las ecuaciones en estas pequeñas regiones del espacio.

Sin embargo, hay casos particulares donde, debido a condiciones de contorno específicas, simetría o fuentes que afectan los campos, se pueden simplificar las ecuaciones de Maxwell y encontrar soluciones directas. Entre estos casos particulares encontramos:

• Ondas planas en medios homogéneos: Si tenemos un medio homogéneo sin fuentes de carga o corriente, las ecuaciones de Maxwell se simplifican y se pueden resolver para obtener soluciones de ondas planas
• Estructuras con determinados tipos de simetría (como simetría esférica o cilíndrica): Esto ocurre en situaciones donde las fuentes de carga y corriente se distribuyen de manera simétrica alrededor de un eje o un punto central
• Estructura con conductores y dieléctricos simples. En casos de medios lineales, isotrópicos y sin dispersión, como conductores ideales o dieléctricos no magnéticos lineales, se pueden encontrar soluciones analíticas en ciertas configuraciones geométricas específicas
• Cavidades resonantes. En cavidades resonantes con geometrías específicas y condiciones de contorno bien definidas, como las cavidades de resonadores ópticos o cavidades de guías de onda, se pueden encontrar soluciones analíticas que describan los modos de resonancia.
  • Utiliza mallado hexaédrico.

Un ejemplo práctico donde se dan estas condiciones de contorno son en las fibras ópticas o en las guías de onda, donde a las posibles soluciones de las ecuaciones de maxwell se le denota como modo de propagación o automodo. De esta forma, cuando se habla de que un medio es mono-modo o multimo, a lo que se está refiriendo es cuantas de las soluciones de maxwell se dan en esas condiciones de contorno.

En este punto es donde cobra un interés especial el solver eingenmode, ya que esta orientado en la búsqueda de este tipo de soluciones, sin tener que hacer una discretización tan exhaustiva como ocurre en el resto de solver, y que son capaces de llegar a resultados de forma mucho más eficientes debido a las particularidades del entorno de simulación.

El solver de automodos (eigenmode) se emplea para calcular frecuencias y patrones de campo electromagnético en condiciones similares a las mencionadas anteriormente. Es importante tener en cuenta que este solver no es compatible con estructuras que tengan bordes abiertos y presenta numerosos problemas cuando los medios de transmisión son con pérdidas.

La forma en la que funciona este solver depende del método de simulación que seleccionemos, entre los que encontramos 4 opciones cuyas características principales se muestran a continuación:

Simulador Por defecto:

• Utiliza mallado tetraédrico.
• Puede simular ciertos tipos de materiales con pérdidas independientes a la frecuencia.
• No permite calcular factores de calidad (Q) directamente para estructuras resonantes con pérdidas (se calculan en el post-procesamiento).

Advanced Krylov Subspace (AKS):

• Utiliza mallado hexaédrico.
• No es capaz de realizar simulaciones con pérdidas, por lo que deben ser incluidas en el post procesado.
• Filtra los modos no deseados, ya que en la mayoría de los casos solo unos pocos modos son necesarios para la simulación.
• Requiere la estimación del autovalor más alto en consideración. Esta estimación puede realizarse de forma iterativa, pero si requiere de demasiadas iteraciones, el tiempo de simulación será demasiado largo.

Método Jacobi-Davidson (JDM):

• Utiliza mallado hexaédrico.
• Es capaz de resolver estructuras con pérdidas, siempre que no sean dependientes de la frecuencia.
• No requiere la estimación de un valor previo para el autovalor.
• Es robusto, especialmente para modos degenerados.
• Puede simular elementos L y C concentrados.
• Es preferible cuando se necesita calcular solo unos pocos modos.

Método de previslualización

• Utiliza mallado tetraédrico.
• Puede manejar materiales con pérdidas y dispersivos en el rango de frecuencia de interés, siempre que no haya polos en ese rango.
• Útil para cálculos precisos del factor Q externo en puertos de guía de onda y estructuras con condiciones de borde de pared abiertas (Standard Impedance Boundary Condition).
• También admite puertos discretos.

En resumen, la elección del tipo de simulación dependerá del número de modos que interesen, de las pérdidas del material (si tienen) y de si interesa conocer el factor de calidad Q del dispositivo en simulación, entre otros muchos factores.

The Use of Numerical Computing Tools in Resolving Specific Problems, such as Maxwell's Equations in Electromagnetic Environments, is Due to the Impossibility of Finding Analytical Solutions for these Cases, Meaning an Exact Mathematical Solution that Describes the Complete Behavior of the System.

Maxwell's equations describe the electromagnetic behavior of a system, portrayed by a system of nonlinear equations with a large number of interdependent unknowns and boundary conditions. For this reason, finding an analytical solution to this problem is not possible, and a numerical solution is necessary.

To address these problems, numerical solutions are employed as approximations with a certain degree of precision. This enables an understanding of complex systems for which an exact solution is almost impossible. In these cases, discretizing space into a mesh with smaller cells is essential to search for numerical solutions in controllable field regions. Meshing is used to simplify the system's boundary conditions within each cell, allowing the approximation of equations in these small spatial regions.

However, there are specific cases where, due to specific boundary conditions, symmetry, or sources affecting fields, Maxwell's equations can be simplified, and direct solutions can be found. These particular cases include:

Plane waves in homogeneous media: In a homogeneous medium with no charge or current sources, Maxwell's equations simplify and can be solved to obtain solutions for plane waves.

Structures with certain types of symmetry (such as spherical or cylindrical symmetry): This occurs in situations where charge and current sources are symmetrically distributed around an axis or central point.

Structures with simple conductors and dielectrics: In cases of linear, isotropic media with no dispersion, such as ideal conductors or non-magnetic linear dielectrics, analytical solutions can be found in specific geometric configurations.

Resonant cavities: In resonant cavities with specific geometries and well-defined boundary conditions, such as optical resonator cavities or waveguide cavities, analytical solutions describing resonance modes can be found.

These conditions often apply in practical scenarios such as optical fibers or waveguides, where the possible solutions to Maxwell's equations are referred to as propagation modes or eigenmodes. Therefore, when a medium is described as single-mode or multi-mode, it refers to how many of Maxwell's solutions are applicable in these boundary conditions.

This is where the eigenmode solver becomes of special interest. It is oriented toward searching for these types of solutions without requiring an exhaustive discretization like other solvers. It can achieve results much more efficiently due to the specific characteristics of the simulation environment.

The eigenmode solver is used to calculate frequencies and electromagnetic field patterns under conditions similar to those mentioned above. It's important to note that this solver is not compatible with structures having open boundaries and encounters numerous issues when transmission media exhibit losses.

The way this solver operates depends on the selected simulation method, among which there are four options with the following key characteristics:

Default Simulator:

• Uses tetrahedral meshing.
• Can simulate certain lossy materials independently of frequency.
• Does not directly calculate quality factors (Q) for lossy resonant structures (calculated in post-processing).

Advanced Krylov Subspace (AKS):

• Utilizes hexahedral meshing.
• Cannot perform simulations with losses, which must be included in post-processing.
• Filters out unwanted modes, as only a few modes are usually required for the simulation.
• Requires estimation of the highest eigenvalue in consideration. This estimation can be done iteratively, but if it requires too many iterations, simulation time may be lengthy.

Jacobi-Davidson Method (JDM):

• Uses hexahedral meshing.
• Capable of solving lossy structures, provided they are not frequency-dependent.
• Does not require prior eigenvalue estimation.
• Robust, especially for degenerate modes.
• Can simulate concentrated L and C elements.
• Preferable when only a few modes need to be calculated.

Previsualization Method:

• Utilizes tetrahedral meshing.
• Can handle lossy and dispersive materials in the frequency range of interest, provided there are no poles in that range.
• Useful for precise calculations of external quality factor Q in waveguide ports and structures with standard impedance boundary conditions.
• Also supports discrete ports.

In summary, the choice of simulation type depends on the number of modes of interest, material losses (if any), and whether it is necessary to determine the quality factor Q of the device in simulation, among many other factors.